ボードゲーム『共円』について

2.『共円』でちょっと強くなるには 2.1 まえがき 2.2 一般に与えられた４点が共円か否かを判定する方法 2.3「共円定石」

2.1 まえがき 第１章で、『共円』の基本的なことについて書きました。 『共円』のルールはもうお分かりいただけたことと思います。 さて、ルールだけを理解した初心者が、経験者と２人で『共円』の対戦をします。 すると、惨敗するはずです。 理由は単純で、初心者は、共円の指摘がほとんど出来ないのです。 相手を負かすためには、こちらが共円の指摘をしなければなりません。 そのためには、自分の番の間に、こちらが共円を発見しなければならないのです。 そのために、こちらは共円を探します。 共円を探す時、何をするでしょうか。 まず、いかにも共円でありそうな４点を見つけ、 それらが本当に共円であるか否かを判定します。 この「判定」の作業を、下のクイズでやってみましょう。 1.下の図の４点が共円であるかどうかを判定しなさい。 2.下の図の赤色の３点を通る円は、A,B,Cの点のうちどの点を通るか。 この作業に時間がかかっていると、とても共円の指摘など不可能であることが お分かりいただけることと思います。 実際は、自分の番の間には「相手の共円を探す」ことだけでなく 「自分が置く場所を探す」こともしなければならないので、なおさらです。 『共円』で初心者から経験者になるためには、最低限この作業を 素早く出来るようにならなくてはなりません。 これから説明する「共円定石」は、(有名なものについては) 経験者ならほとんど誰でも知っているはずです。 「共円定石」を覚えることにより、４点が共円か否かの判定はもちろん、 共円を見つける速度も画期的に速くなります。 上に挙げた２つの問題についても、もし「共円定石」をしっかり把握していれば、 各問５秒程度で自信を持って答えられるはずです。 (１問目は、12角形定石その２により、共円である) (２問目は、16角形定石その１により、A,B,Cの３点とも円周上でない) 前置きはこれくらいにして、「共円定石」そのものを見ていきましょう。 ただし「共円定石」は多少特殊性を持つものなので、 「共円定石」を紹介する前に、 「一般に与えられた４点が共円か否かを判定する方法」にいくつか触れておきます。

2.2 一般に与えられた４点が共円か否かを判定する方法 この節では、与えられた４点が、いかなる場合であっても 共円かそうでないかを判定できる方法を簡単に紹介します。 (1) 中心を求める ３点を通る円の中心を(２本の垂直二等分線の交点として)求め、 その中心から残りの１点までの距離が 他の３点までの距離と等しいかどうかを調べます。 等しければ４点は共円であり、異なれば４点は共円ではありません。 (2) 円周角の定理、対角の和 凸四角形ABCDがあるとき、 ・４点A、B、C、Dが共円 ⇔ ∠BAC = ∠BDC ・４点A、B、C、Dが共円 ⇔ ∠DAB + ∠BCD =180° これらは特に、円周角や対角が90°のときに多用します。 (3) 方べきの定理 凸四角形ABCDがあり、 ・対角線ACと対角線BDの交点を点Pとするとき、 ４点A、B、C、Dが共円 ⇔ PA･PC = PB･PD ・直線ABと直線CDの交点を点Qとするとき、 ４点A、B、C、Dが共円 ⇔ QA･QB = QC･QD (4) トレミーの定理 ４点A、B、C、Dが共円 ⇔ AB･CD + BC･DA = AC･BD (5) 複素反転による方法 複素平面において、４点 0、α、β、γが共円 ⇔ 複素平面において、３点 1/α、1/β、1/γが共線 (⇔ 複素平面において、３点 βγ、γα、αβが共線)

2.3「共円定石」 「共円定石」とは、「同一円周上にあるいくつかの点の集まり」であり、 それらの点の配置を覚えておくと、与えられた４点が共円か否かの判定に 大いに役立ち、共円を見つける速度が画期的に速くなります。 以下、ひとつずつ見ていきます。 (1) 共線 同一直線上にある４点は、共円です。(定義より明らか) (2) 等脚台形 [付録]でも触れたように、任意の等脚台形の４頂点は、共円です。 特に、「平行な２辺が軸(格子の線)に平行or軸と45°の角をなす等脚台形」は、 容易にそれが等脚台形であることが分かります。 (今後、このような等脚台形を、一般の等脚台形と区別して「単純等脚台形」と呼びます。) (3) ８角形定石 下図の８角形の頂点たちは、共円です。 ちなみに、この８角形の８つの頂点から任意に４点をとると、 (1) その４点は「単純等脚台形」をなす (2) その４点からさらに３点A,B,Cをうまく選ぶと、∠ABC = 90°となる のどちらか少なくとも一方が必ず成り立ちます。 つまり、８角形は、「単純等脚台形」または「円周角・対角90°」に帰着されるのです。 最初の３つは、きわめて当たり前なものばかりです。 しかし、軽率に考えてはいけません。特に「単純等脚台形」は、 その見つけやすさにもかかわらず、忘れられがちです。 単純等脚台形に引っかからないようにするには、 まず「等脚チェック」を行うのがお勧めです。 とうきゃく-チェック【等脚―】 「単純等脚台形」が盤面に存在するかを 虱潰し的に確かめる(「全探索」する)こと。意外と手間がかからない上、確実性がある。 『共円判定』の場合は下図のような感じになる。 『共円』の場合は１点が決定しているので『共円判定』の場合よりラク。 さて、いよいよ次からは本格的な共円定石が登場します。 まずは有名なものから。 (最近は各定石の出現頻度も分かってきているようですが、 ここでは出現頻度にはとらわれず、有名なものから順に挙げていくことにします。) (4) 12角形定石その１ 上図の12点は共円です。 また、この円上には、この12点以外の格子点はありません(以後同様です)。 これはもっとも有名な共円定石です。また、五大共円ist(*)の一人である りんごさんの調査により、これ以降の定石の中で もっともよく出現する定石であることも分かっています(９路盤において)。 この定石の覚え方(あるいは調べ方)としては、 「いち、桂馬、桂馬、･･･」という覚え方と 「５×５の正方形＋周囲に８点」という覚え方があります。 ちなみに、後者のほうが実践的と言う人が多いです。 (* 五大共円ist) ５人の『共円』の先駆者達のこと。 ちなみに、彼らは皆『共円』誕生の瞬間に立ち会っている。 (5) 12角形定石その２ これは「12角形定石その１」を√2倍して45°回転したものです(複素平面では1+i倍)。 「いち」が「斜めいち」に、(1,2)の桂馬が(1,3)に変化しています。 (6) 16角形定石その１ 「軸に平行な長さ３の辺」を持つ16角形です。 3,2,1,2,3、みたいなイメージで覚えられます。 (7) 16角形定石その２ 「軸に平行な長さ１の辺」を持つ16角形です。 これは「16角形定石その１」とは本質的に異なるものです。 1,(3,1),(2,2),(1,3),1、みたいな「４を分ける」イメージで覚えられます。 (毎回覚え方を書いていますが、これらにとらわれることなく 自由に覚えてもらって差し支えないと思います。) (8) 6角形定石 小さな定石です。 この定石は、12角形定石のその１やその２を縮小した形となっています。 (縮小時に12点のうち6点が格子点上に来る) 「< >」の形でそのまま覚えられると思います。 ちなみに、この定石も８角形定石と同じように 「単純等脚台形」または「円周角･対角90°」に帰着されます。 ここまでの定石を頑張って覚えれば、ある程度は いい勝負ができるようになると思います。 この辺りから、だんだんマニアックになってきます(笑) (9) いちご定石 この定石は、共円界に大きな衝撃を与えました。 まず、これまでの定石と比べて、円周上にある格子点の数が明らかに少なく、 たったの４つしかありません。 この４点が共円であることは方べきの定理を使うと 簡単に確認できます(√5×√20 = √10×√10)。しかし、他にも、この円周上に 格子点があるのではないか、という疑問がわいてきます。 ところが、調べてみると、無いのです。 さらに、この円の中心の座標を計算してみると、これまでの定石と比べて はるかに汚い値が出てきたのです！ (中心の位置から最寄りの格子点までのベクトルが(1/14,5/14)となります。 定石の名前「いちご」の由来はこの分子の(1,5)です。) この定石は、さきの方べきの定理の形で覚えてしまっても問題ないでしょうし、 また「(1,5),(1,4),(2,3),(3,5)」(４点がなす四角形の辺のベクトル) と唱えて覚えることも出来ます。 (ここにも(1,5)が出てきますが、これは定石の名前の由来ではありません。要注意。) いちご定石がある時には、必ず(1,5)の辺があります。 つまり、盤面に(1,5)の辺が無ければ、盤面にいちご定石は存在しないと言い切れます。 ((1,4)や(2,3),(3,5)の辺についても同様のことが成り立ちます。) (10) メキシコ定石 この定石は、第46回IMO(国際数学オリンピック)メキシコ大会の最中に発見されたので、 こんな名前がつけられています。 この定石から任意に４点をとると、その４点は必ず (2,2)の辺か(1,2)の辺を含みます。 (「(2,2)の辺か(1,5)の辺を含むか、４点が単純等脚台形をなす」も成立します。) ここから先の定石は、あまり有名ではありません。 名前がついてないものも多くあり、そのせいで有名でないのかもしれません。 しかし、最近の調査では、ここから下の定石の中にも出現頻度の高いものがあるようです。 次の４つは、９路盤の場合、(登場するとすれば)盤面の「端」に登場することが 比較的多い定石達です。 (11) [細い台形×２] ２つの台形が向かい合っています。 ９路盤の場合、盤面の向かい合う縁のそれぞれの付近に、台形が１つずつ出現します。 この定石には点が８つありますが、９路盤の中には最大で６点しか収まりません。 (12) [太い台形×２、呪われた定石] ２つの台形が向かい合っています。 上の定石とは違い、９路盤に８点全て収まります。 ちなみに、この定石が「呪われた定石」と呼ばれているのは、 ネット上で『共円』を遊ぶことが出来る『オンライン共円』において、 2006年7月から8月にかけてやたらとしょっちゅう発生した定石だからです。 (13) [えぐい六角形] 奇妙な六角形です。 平行な２辺が１組しかありませんし、しかも、その２辺の長さが異なります。 さらに、左下の４点は、よく見ると等脚台形をなしています。 この定石の６点のうち、９路盤の中には最大で５点しか収まりません。 さて、ここから先の定石は、全然有名でなく、 把握できている人はごくわずかだと思います。 しかし、ここから先の定石は全て、９路盤に出現する形が (単純等脚台形を除くと)全て１通りに定まるものばかりなので、 それさえ覚えてしまえば対処できます。 (14) [12角形定石その１の２倍] (図) (15) [(1,1),(2,3),(1,3)] (図) (16) [3 * 4 = 2√2 * 3√2] (図) (17) [2 * 4 = √2 * 4√2] (図) (18) [4 * 6 = 3 * 8] (図) (19) [6 * 10 = 3√5 * 4√5] (図) ここまで数多くの定石を紹介しました。いかがでしたでしょうか？ 実は、９路盤で『共円』をプレイするときに出現する可能性のある定石を、 これで全て挙げたことになります。 途中で何度か「定石の出現頻度」について言及しましたが、これについては 第３章にまわすことにします。 また、「共円式」に関することも第３章で触れたいと思います。 それでは、この章はこの辺で終わりにします。

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